切比雪夫不等式的改进
当 $x\geq 2$ 时,
\[0.2\frac{x}{\log x}\leqslant\pi(x)\leqslant 5\frac{x}{\log x}\]
这是闵嗣鹤、严士健编著的《初等数论》上的一个定理, 叫做切比雪夫不等式. 证明了 $\pi(x)$ 与 $\frac{x}{\log x}$ 是同阶的.
我们断言, 当 $n\geqslant 51$ 时, 有
\[\log 2\frac{x}{\log x}<\pi(x)+1\]
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